了解 ADC 的幅度量化誤差

ADC 將輸入值轉換為一組離散級別中的一個值，并輸出數字代碼以指定量化級別。量化過程會給系統帶來一些誤差。

本文將通過將斜坡輸入應用于量化器來研究量化誤差。然后，我們將看一個示例，其中量化誤差類似于噪聲源。此外，我們將討論使用噪聲源對量化誤差進行建模的優點。我們將在本文的下一部分繼續討論。在那里，我們將研究允許我們使用噪聲模型的假設，并且我們將使用獲得的模型來表征量化誤差的影響。

理想的 ADC

理想的單極三位 ADC 的傳遞函數如圖 1 所示。

圖 1

模擬輸入的滿量程 (FS) 值被分為八個相等的間隔（用 ?、1/4、... 表示）。在這些間隔的中點，存在從一個數字輸出值到下一個數字輸出值的轉變。除個和一個臺階外，其他臺階的寬度都等于 FS/8。步長 (FS/8) 還指定輸出數字代碼的有效位 (LSB) 的模擬值。因此，如果我們將上述 ADC 的輸出應用于理想的數模轉換器（圖 2），代碼 001 將產生模擬值 FS/8，代碼 010 將產生 FS/4，依此類推。

圖2

幅度量化誤差

這里重要的一點是，給定的數字代碼代表一系列模擬輸入值；輸入的幅度被量化。例如，從FS/16到3*FS/16的所有輸入值都由一個輸出代碼（代碼001）表示。如果我們將 ADC 的輸出連接到理想的三位 DAC（圖 2），代碼 001 將產生模擬值 FS/8。因此，從 FS/16 到 3*FS/16 的模擬值由單個模擬值 FS/8 表示。因此，即使是理想的幅度量化也會引入一些誤差。該誤差稱為量化誤差 (V q )，可以通過從 DAC 輸出 (V out ) 中減去 ADC 輸入 (V in ) 來計算，如下圖 3 所示。

圖3

斜坡輸入的量化誤差

讓我們將斜坡信號應用于上述設置的輸入，并更仔細地檢查量化誤差。圖 4 中的藍線顯示了應用于輸入的斜坡。此外，該圖以紅色顯示了我們在 DAC 輸出中獲得的量化電平。

圖4

在t 0和t 1之間，輸入小于FS/16。考慮到圖 1 的輸入輸出特性，ADC 輸出為 000，這給出了量化模擬值 V out = 0。如圖 5 所示，此間隔的量化誤差從 0 到 - ? ? FS/8（負半個 LSB）。

圖5

在t 1和t 2之間，輸入大于FS/16且小于3FS/16。ADC 輸出為 001，給出量化模擬值 V out = FS/8（見圖 1 和 4）。對于此間隔，量化誤差范圍為 + ? ? FS/8 到 - ? ? FS/8（參見圖 5）。同樣，我們可以找到其他量化級別的誤差值，如圖 5 所示。請注意，除了一個級別之外，量化誤差始終在 ± FS/16（半個 LSB）之間。

現在我們可以使用圖 5 來計算斜坡輸入的量化誤差的均方根 (RMS) 值。在區間 T 1 < t < T 2內定義的函數 f(t) 的 RMS可通過以下等式獲得：

對于圖 5 的誤差波形，我們有：

為了簡單起見，我們忽略波形的部分 (0 < t < t 1 ) 和部分 (t 8 < t < t 9 )。隨著量化器分辨率的提高，忽略這兩部分而引入的誤差會減小。我們獲得：

上式中的積分對應于同一信號的時移版本。時間平移不會改變曲線下的面積（或等效地，其積分）。因此，這些積分項是相等的。由于 t 2 -t 1 = t 3 -t 2 = …= t 8 -t 7，我們可以將上式簡化為：

公式1

我們可以直接計算上面的積分。然而，為了使計算更簡單，我們假設t 2 -t 1 = T并對波形應用-T/2的時移。因此，我們可以簡單地計算 V q ,new (t)的 RMS，如下圖 6 所示。

圖6

因此，方程 1 可以重寫為

公式2

其中 V q ,new (t) 由以下等式給出：

將此方程代入方程 2 并計算得出

我們知道FS/8是LSB的模擬值。因此，RMS 誤差由以下等式給出：

這是一個重要的結果，我們稍后將再次推導它（在本文的第二部分），從不同的角度看待問題。

讓我們總結一下迄今為止的發現：我們發現，即使是理想的幅度量化也會在系統中引入一些誤差，稱為量化誤差。為了研究該誤差的一些特性，我們應用了斜坡輸入并觀察到誤差的 RMS 與 LSB 值成正比。此外，如圖 5 示例所示，量化誤差始終在 ±LSB/2 之間。提高量化器的分辨率將減少 LSB 和誤差項。此外，忽略圖 5 中波形的部分 (0 < t < t 1 ) 和部分 (t 8 < t < t 9 )，我們觀察到誤差的平均值為零。另請注意，對于給定的輸入值，我們可以計算出誤差的準確值。

更復雜輸入的量化誤差

盡管上述討論使我們能夠深入了解量化誤差的某些屬性，但它基于一個不切實際的假設，即輸入是斜坡。讓我們看另一個例子。這次我們對離散余弦信號 x[n]=0.99cos(n/10) 進行量化，如圖 7 所示。

圖 7圖片由離散時間信號處理提供。

如果我們對該信號應用 8 位量化器，量化誤差序列將如圖 8 所示。

圖 8圖片由離散時間信號處理提供。

與斜坡輸入的情況不同，此示例的誤差似乎不遵循某種模式，并且計算 RMS 誤差并不容易。將此示例的輸入余弦與錯誤序列進行比較，我們觀察到以下內容：

• 輸入是單頻信號，但誤差信號的頻率內容似乎有很大不同。它的變化很快，因此我們期望它具有高頻成分。
• 我們無法通過目視檢查識別輸入余弦和錯誤序列之間的聯系。錯誤序列似乎與輸入不相關，并且從一個樣本到下一個樣本隨機變化。

正如我們在斜坡輸入示例中觀察到的那樣，我們知道量化誤差信號并不是真正隨機的，實際上可以針對給定的輸入值進行計算。但是，如果我們可以在某些假設下將量化誤差建模為隨機信號呢？量化誤差的幅度在 ±LSB/2 之間，這可能是一個很小的值，特別是當我們處理高分辨率量化器時。現在，如果這個低幅度信號以不可預測的方式變化，人們可能會得出結論，它類似于我們通常在不同電路和系統中遇到的噪聲源。

將量化誤差建模為噪聲源的優點

將量化誤差視為噪聲源可以使問題簡化很多。我們知道如何分析特定類型的噪聲源對線性時不變 (LTI) 系統的影響。噪聲源的瞬時值通常是不可預測的，因此時域分析是不可能的。然而，我們可以長時間觀察噪聲，并利用測量結果找到噪聲的統計模型。例如，噪聲源的一個有用特征是其“功率譜密度”（PSD），它使我們能夠深入了解不同頻帶中噪聲的平均功率。具有噪聲信號的 PSD，

因此，假設可以通過噪聲源對量化過程進行建模，我們只需要找到噪聲模型的功率譜密度，并用它來表征誤差對系統性能的影響。在這種情況下，我們可以使用圖 3 的模型來描述具有加性噪聲源的量化過程，如圖 9 所示。如您所見，量化值 (V out ) 等于輸入( V in )加上模擬量化誤差 (V q )的噪聲信號。

圖9

在本文的下一部分中，我們將研究將量化誤差建模為噪聲源的條件。然后，我們將深入研究所獲得模型的一些重要特征，并使用它們來分析量化誤差對系統性能的影響。

結論

即使是理想的幅度量化也會在系統中引入一些誤差，稱為量化誤差。該誤差的 RMS 與 LSB 值成正比。看來 我們可以在某些假設下將量化誤差建模為噪聲信號。如果可能的話，這可以顯著簡化分析量化誤差對系統性能的影響。